Ре­ше­ние. Дуги BCM и BАМ равны 120°. Дуга MDN равна 360° − 240° = 120°. По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле угол MBN равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги MDN, то есть 60°. Рав­ные хорды стя­ги­ва­ют рав­ные дуги, дуги BC и АВ равны 90°. Дуги CM и AN равны 120° − 90° = 30°. По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле угол ABN равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги AN, то есть 15°, угол CBM равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги CM, то есть так же 15°. Тре­уголь­ни­ки CBT и ABK по сто­ро­не и двум углам, сле­до­ва­тель­но, BK = BT. Так как ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен най­дем сто­ро­ну квад­ра­та:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник CBT. Угол ВСТ равен 45°, угол CBT равен 15°, зна­чит, угол CТВ равен 120°. При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов:

Тре­уголь­ник TBK  — рав­но­сто­рон­ний, так как он яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, а один из его углов равен 60°. По­это­му TK = BT = 6.

Ответ: 6.