Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 120
i

Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка АВС лежат на окруж­но­сти, АВ : ВС = 2 : 3. Точка D делит дугу АС по­по­лам. От­ре­зок BD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке E. Через точку Е про­ве­де­на хорда КМ, при­чем КЕ = 8 см, МЕ = 12 см. Най­ди­те АС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу, ис­поль­зуя изоб­ра­же­ние, со­став­лен­ное по её усло­вию.

Так как точка D делит дугу AC по­по­лам, то видно, что \angle ABD  =  \angle DBC, по­то­му что они яв­ля­ют­ся впи­сан­ны­ми уг­ла­ми, ко­то­рые опи­ра­ют­ся на рав­ные части дуги. Сле­до­ва­тель­но, BD  — бис­сек­три­са \angle ABC.

Тогда, по свой­ству бис­сек­три­сы, в тре­уголь­ни­ке ABC вы­пол­не­но от­но­ше­ние дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: CE конец дроби   =   дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: BC конец дроби   =   дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

От­ку­да по­лу­ча­ем AE  =   дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CE.

Из тео­ре­мы об от­рез­ках пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд имеем AE · CE  =  KE · EM, то есть, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CE в квад­ра­те   =  8 · 12 рав­но­силь­но CE  =  12.

Таким об­ра­зом, имеем:

 

AC  =  AE плюс CE  =   дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CE   =   дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби  · 12  =  20.

 

Ответ: AC=20.

Классификатор геометрии: 2.4 Ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы, вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, 4.4 Свой­ства хорд, ка­са­тель­ных, се­ку­щих окруж­но­сти
Источник: Ва­ри­ант № 10
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025