Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 280
i

Через концы диа­мет­ра AB к окруж­но­сти про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные AM и BN. Тре­тья ка­са­тель­ная пе­ре­се­ка­ет пер­вые две в точ­ках C и D так, что C при­над­ле­жит AM, D при­над­ле­жит BN Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если CA = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , DB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как се­ку­щая BA пер­пен­ди­ку­ляр­на к пря­мым MA и NB, то пря­мые MA и NB па­рал­лель­ны.(см.рис.).

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки: TD=DB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , а TC=CA=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , тогда

CD=TD=TC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию CDBA, про­ве­дем вы­со­ту DH. Так как в HDBA все углы пря­мые, то это пря­мо­уголь­ник.

Тогда по­лу­ча­ем, что HA=DB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , и

CH=CA минус HA=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка CDH. Тогда DH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CD в квад­ра­те минус CH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та Зная DH, най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти.

r= дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: DH, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

Классификатор геометрии: 4.4 Свой­ства хорд, ка­са­тель­ных, се­ку­щих окруж­но­сти
Источник: Ва­ри­ант № 26
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025