Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 420
i

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на ме­ди­а­на BM, угол ABC  =  105°, AC=18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та см. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AMB, равен 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та см. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как BM  — ме­ди­а­на, то AM = CM = дробь: чис­ли­тель: 18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та см.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BMC:

дробь: чис­ли­тель: AM, зна­ме­на­тель: синус \angle ABM конец дроби = 2R рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус \angle ABM конец дроби = 2 умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но синус \angle ABM = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

зна­чит, угол ABM  =  60° (120°  — не­воз­мож­но по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка). Тогда угол MBC = 105° минус 60° = 45°. Снова вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов, но в тре­уголь­ни­ке BMC:

дробь: чис­ли­тель: CM, зна­ме­на­тель: синус \angle MBC конец дроби = 2R рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус 45 гра­ду­сов конец дроби = 2R рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = 2R рав­но­силь­но 18 = 2R рав­но­силь­но 9 = R см.

Ответ: 9 см.

Классификатор геометрии: 4.6 Опи­сан­ные окруж­но­сти
Источник: Ва­ри­ант № 40
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025