РЕШУ ЦТ — математика–9

Задания

Задание № 640 Добавить в вариант

Классификатор геометрии: 4.4 Свойства хорд, касательных, секущих окружности

Задания на 10 баллов

К окружности из точки M проведены две секущие MA и MB, которые пересекают окружность в точках A и C, B и D, как указано на рисунке. Докажите, что величина угла AMB равна половине разности дуг AFB и CHD.

Решение. Проведём хорду AB. Вписанные углы ABD и BAC равны соответственно $дробь: числитель: AC плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: CD плюс BD, знаменатель: 2 конец дроби ,$ где AC, CD и BD  — меньшие из возможных дуг. Тогда в треугольнике BAM по теореме о сумме углов

$BMA=180 градусов минус дробь: числитель: AC плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: CD плюс BD, знаменатель: 2 конец дроби =180 градусов минус CD минус дробь: числитель: AC плюс BD, знаменатель: 2 конец дроби ,$

где AC, CD и BD  — меньшие из возможных дуг. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна 360°, а полусумма  — 180°, в таком случае, $180 градусов минус дробь: числитель: AC плюс BD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AB плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби .$ Тем самым, угол BMA равен $дробь: числитель: AB плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби минус CD= дробь: числитель: AB минус CD, знаменатель: 2 конец дроби .$

Классификатор геометрии: 4.4 Свойства хорд, касательных, секущих окружности

Источник: Вариант № 62

Ключ