Пусть впи­сан­ный угол ABC равен x, тогда его со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол AOC равен 2x, по­сколь­ку углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти.

По усло­вию за­да­чи цен­траль­ный угол на 18° боль­ше впи­сан­но­го. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Итак, впи­сан­ный угол ABC равен 18°.

Ответ: 18°.

Пусть впи­сан­ный угол ABC равен x, тогда его со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол AOC равен 2x, по­сколь­ку углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти.

По усло­вию за­да­чи цен­траль­ный угол на 24° боль­ше впи­сан­но­го. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Итак, впи­сан­ный угол ABC равен 24°.

Ответ: 24°.

Как от­рез­ки, про­ве­ден­ные из цен­тра окруж­но­сти к точке на ней, то есть ра­ди­у­сы,

так как оба этих угла опи­ра­ют­ся на одну дугу,   — цен­траль­ный и   — впи­сан­ный. Зна­чит:

Ответ:

так как опи­ра­ет­ся на диа­метр AB. Тогда тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. По свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

так как опи­ра­ет­ся на диа­метр AB. Тогда тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. По свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

Ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной, по­это­му в четырёхуголь­ни­ке ABOC углы ABO и ACO  — пря­мые. Зна­чит, угол BOC равен 180° - 64° = 116°. Тогда в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BCO сумма углов, при­ле­жа­щих к ос­но­ва­нию, равна 64°. Так как они равны, ис­ко­мый угол равен 64° : 2 = 32°.

Ответ: 32°.

Ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной, по­это­му в четырёхуголь­ни­ке AOCB углы BAO и BCO  — пря­мые. Зна­чит, угол ABC равен 180° − 118° = 62°. Тре­уголь­ни­ки BAO и BCO равны по трём сто­ро­нам, тогда угол ABO и угол CBO равны, как со­от­вет­ствен­но рав­ные эле­мен­ты со­от­вет­ствен­но рав­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, ис­ко­мый угол равен по­ло­ви­не угла ABC, равен 31°.

Ответ: 31°.