Дан­ный в за­да­че тре­уголь­ник при­ведён на ри­сун­ке (см. рис). Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой на­хож­де­ния длины бис­сек­три­сы:

Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, по­это­му:

Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу (1):

Ответ:

Дан­ный в за­да­че тре­уголь­ник при­ведён на ри­сун­ке (см. рис).

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой на­хож­де­ния длины бис­сек­три­сы:

Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, по­это­му:

Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу (1):

Ответ: 10.

Решим за­да­чу, ис­поль­зуя изоб­ра­же­ние, со­став­лен­ное по её усло­вию.

Так как точка D делит дугу AC по­по­лам, то видно, что   =   по­то­му что они яв­ля­ют­ся впи­сан­ны­ми уг­ла­ми, ко­то­рые опи­ра­ют­ся на рав­ные части дуги. Сле­до­ва­тель­но, BD  — бис­сек­три­са Тогда, по свой­ству бис­сек­три­сы, в тре­уголь­ни­ке ABC вы­пол­не­но от­но­ше­ние   =    =  

От­ку­да по­лу­ча­ем AE  =  

Из тео­ре­мы об от­рез­ках пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд имеем: AE · CE  =  KE · EM, то есть,   =   · CE  =  

Таким об­ра­зом, имеем:

Ответ:

Решим за­да­чу, ис­поль­зуя изоб­ра­же­ние, со­став­лен­ное по её усло­вию.

Так как точка D делит дугу AC по­по­лам, то видно, что   =   по­то­му что они яв­ля­ют­ся впи­сан­ны­ми уг­ла­ми, ко­то­рые опи­ра­ют­ся на рав­ные части дуги. Сле­до­ва­тель­но, BD  — бис­сек­три­са

Тогда, по свой­ству бис­сек­три­сы, в тре­уголь­ни­ке ABC вы­пол­не­но от­но­ше­ние   =    =  

От­ку­да по­лу­ча­ем AE  =  

Из тео­ре­мы об от­рез­ках пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд имеем AE · CE  =  KE · EM, то есть,   =   ·  CE  =  

Таким об­ра­зом, имеем:

Ответ:

На ри­сун­ке точка O  — это точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC. По­сколь­ку ме­ди­а­ны в тре­уголь­ни­ке де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны, имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

На ри­сун­ке точка O  — это точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC. По­сколь­ку ме­ди­а­ны в тре­уголь­ни­ке де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны, имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Так как по усло­вию эти ве­ли­чи­ны нам из­вест­ны, за­пи­шем сле­ду­ю­щим об­ра­зом: По свой­ству угла бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка По­лу­ча­ем, что

Имеем: Так как по усло­вию эти ве­ли­чи­ны из­вест­ны, за­пи­шем сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

По свой­ству угла бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка По­лу­ча­ем, что от­ку­да

Ответ: 5.

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH, ги­по­те­ну­зу AB обо­зна­чим за 5x, а катет AH за 3x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  4x. Обо­зна­чим угол BAC как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 7,5.

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BHC, ги­по­те­ну­зу BC обо­зна­чим за 13x, а катет HC за 5x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  12x. Обо­зна­чим угол BCH как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 26.