Ре­ше­ние. За­ме­тим, что си­сте­ма связи ла­ге­рей пред­став­ля­ет собой граф, в ко­то­ром каж­дый из x ла­ге­рей свя­зан с осталь­ны­ми x − 1 ли­ни­ей связи. При таком ме­то­де ре­ше­ния каж­дая связь учи­ты­ва­ет­ся 2 раза, по­это­му при со­став­ле­нии ра­вен­ства часть, со­дер­жа­щую пе­ре­мен­ные, сле­ду­ет раз­де­лить на 2. По­лу­ча­ем:

Ко­рень −7 не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи, в от­ли­чие от числа 8.

При­ме­ча­ние: корни квад­рат­но­го урав­не­ния можно было найти, ис­поль­зуя тео­ре­му, об­рат­ную тео­ре­ме Виета.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что си­сте­ма связи ла­ге­рей пред­став­ля­ет из себя граф, в ко­то­ром каж­дый из x ла­ге­рей свя­зан с осталь­ны­ми x − 1 ли­ни­ей связи. При таком ме­то­де ре­ше­ния каж­дая связь учи­ты­ва­ет­ся 2 раза, по­это­му при со­став­ле­нии ра­вен­ства часть, со­дер­жа­щую пе­ре­мен­ные, сле­ду­ет раз­де­лить на 2. По­лу­ча­ем:

Ко­рень −8 не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи, в от­ли­чие от числа 9.

При­ме­ча­ние: корни квад­рат­но­го урав­не­ния можно было найти, ис­поль­зуя тео­ре­му, об­рат­ную тео­ре­ме Виета.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. При­мем пол­ную ве­ли­чи­ну за­ка­за за 1. Пусть ис­ко­мое время равно x ч. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Ра­бо­та, з.	Про­из­во­ди­тель­ность, з/ч.	Время, ч.
Пер­вый ра­бот­ник			3
Вто­рой ра­бот­ник			10,5

По­сколь­ку для вы­пол­не­ния за­ка­за ра­бот­ни­ки объ­еди­ни­лись, их про­из­во­ди­тель­но­сти скла­ды­ва­ют­ся. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Двое ра­бот­ни­ков, объ­еди­нив уси­лия, вы­пол­ня­ют 0,3 за­ка­за за 2 ч.

Ответ: 2 ч.

Ре­ше­ние. При­мем пол­ную ве­ли­чи­ну за­ка­за за 1. Пусть ис­ко­мое время равно x ч. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Ра­бо­та, з.	Про­из­во­ди­тель­ность, з/ч.	Время, ч.
Пер­вый ра­бот­ник			9
Вто­рой ра­бот­ник			1,5

По­сколь­ку для вы­пол­не­ния за­ка­за ра­бот­ни­ки объ­еди­ни­лись, их про­из­во­ди­тель­но­сти скла­ды­ва­ют­ся. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Двое ра­бот­ни­ков, объ­еди­нив уси­лия, вы­пол­ня­ют 0,3 за­ка­за за 2 ч.

Ответ: 2 ч.

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы, со­ста­вив со­от­вет­сву­ю­щее урав­не­ние:

Нанесём корни на ось и рас­ста­вим знаки, тогда:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Найдём пе­ре­се­че­ния ре­ше­ний не­ра­венств, из ри­сун­ка видно, что ре­ше­ни­ем си­сте­мы будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы, со­ста­вив со­от­вет­сву­ю­щее урав­не­ние:

Нанесём корни на ось и рас­ста­вим знаки, тогда:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Найдём пе­ре­се­че­ния ре­ше­ний не­ра­венств, из ри­сун­ка видно, что ре­ше­ни­ем си­сте­мы будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть х  — число упраж­не­ний, ко­то­рое пла­ни­ро­вал ре­шать де­вя­ти­класс­ник за 1 день, а у  — число дней, ко­то­рое он пла­ни­ро­вал по­тра­тить. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Число упраж­не­ний в день	Число дней	Всего упраж­не­ний
По плану	x	y	180
Фак­ти­че­ски			180

Со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

По­сколь­ку нам не­об­хо­ди­мо найти число дней, ко­то­рое за­ня­ло ре­ше­ние упраж­не­ний, ис­кать х нет не­об­хо­ди­мо­сти. Число -10  — по­сто­рон­ний ко­рень. По­сколь­ку ре­ше­ние упраж­не­ний за­ня­ло на 2 дня мень­ше за­пла­ни­ро­ван­но­го, то де­вя­ти­класс­ник спра­вил­ся за 10 дней.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пусть х  — число упраж­не­ний, ко­то­рое пла­ни­ро­вал ре­шать де­вя­ти­класс­ник за 1 день, а у  — число дней, ко­то­рое он пла­ни­ро­вал по­тра­тить. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Число упраж­не­ний в день	Число дней	Всего упраж­не­ний
По плану	x	y	160
Фак­ти­че­ски			160

Со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

По­сколь­ку нам не­об­хо­ди­мо найти число дней, ко­то­рое за­ня­ло ре­ше­ние упраж­не­ний, ис­кать х нет не­об­хо­ди­мо­сти. Число -8  — по­сто­рон­ний ко­рень. По­сколь­ку ре­ше­ние упраж­не­ний за­ня­ло на 2 дня мень­ше за­пла­ни­ро­ван­но­го, то де­вя­ти­класс­ник спра­вил­ся за 8 дней.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пусть t  =   Решим вспо­мо­га­тель­ное урав­не­ние:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ: {}.

Ре­ше­ние. Пусть t  =   Решим вспо­мо­га­тель­ное урав­не­ние:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Решим дан­ное не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, обо­зна­чим на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой нули функ­ции, рас­ста­вим знаки, учи­ты­вая, что ко­рень 7 крат­но­сти 2, то есть при пе­ре­хо­де через этот ко­рень знак не­ра­вен­ства не по­ме­ня­ет­ся.

Итак, вы­пи­шем ответ, не за­бы­вая об изо­ли­ро­ван­ной точке:

Ре­ше­ние.

Решим дан­ное не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, обо­зна­чим на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой нули функ­ции, рас­ста­вим знаки, учи­ты­вая, что ко­рень 8 крат­но­сти 2, то есть при пе­ре­хо­де через этот ко­рень знак не­ра­вен­ства не по­ме­ня­ет­ся.

Итак, вы­пи­шем ответ, не за­бы­вая об изо­ли­ро­ван­ной точке:

Ре­ше­ние. За­пи­шем усло­вие в виде урав­не­ния: Левую часть при­ве­дем к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:
Про­де­ла­ем то же самое в пра­вой части: Те­перь пе­ре­не­сем все в одну сто­ро­ну, под­ве­дем под один зна­ме­на­тель:

Ре­ше­ние. За­пи­шем усло­вие в виде урав­не­ния: Левую часть при­ве­дем к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:
Про­де­ла­ем то же самое в пра­вой части: Те­перь пе­ре­не­сем все в одну сто­ро­ну, под­ве­дем под один зна­ме­на­тель:

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ: 150.

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. Урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­са 4 и цен­тром в точке (0;0)

Урав­не­ние за­да­ет па­ра­бо­лу. Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле X_{вер­ши­ны} = 0.

Y_{вер­ши­ны} = 5. Точка пе­ре­се­че­ния с осью O_x: -x²+5 = 0 Точка пе­ре­се­че­ния с осью O_y = 0.

Так как гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в четырёх точ­ках, то си­сте­ма урав­не­ний имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

Ре­ше­ние. Урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­са 3 с цен­тром в точке (0; 0).

Урав­не­ние за­да­ет па­ра­бо­лу. Най­дем абс­цис­су вер­ши­ны па­ра­бо­лы: тогда ор­ди­на­та вер­ши­ны па­ра­бо­лы Най­дем точки пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы с осью Ox:

Так как гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в четырёх точ­ках, то си­сте­ма урав­не­ний имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. При­ведём вы­ра­же­ние к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, до­мно­жив вто­рую дробь на a − 4, а потом упро­стим:

Решим квад­рат­ное урав­не­ние чтобы по­нять, можем ли мы раз­ло­жить вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли. За­ме­тим, что сумма кор­ней равна −7, а про­из­вед­ние  — 12, а зна­чит, это числа −4 и −3. Итак, вы­ра­же­ние имеет вид (a + 4)(a + 3). Пер­вая скоб­ка со­кра­ща­ет­ся со вто­рой скоб­кой зна­ме­на­те­ля, таким об­ра­зом по­лу­ча­ем ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. При­ведём вы­ра­же­ние к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, до­мно­жив вто­рую дробь на a + 8, а потом упро­стим:

Решим квад­рат­ное урав­не­ние чтобы по­нять, можем ли мы раз­ло­жить вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли. За­ме­тим, что сумма кор­ней равна 5, а про­из­вед­ние  — −24, а зна­чит, это числа 8 и −3. Итак, вы­ра­же­ние имеет вид (a − 8)(a + 3). Пер­вая скоб­ка со­кра­ща­ет­ся с пер­вой скоб­кой зна­ме­на­те­ля, таким об­ра­зом по­лу­ча­ем ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. До­мно­жим левую часть на x² − 16, не забыв про усло­вие на зна­ме­на­тель:

Ответ: {2}.

Ре­ше­ние. До­мно­жим левую часть на x² − 9, не забыв про усло­вие на зна­ме­на­тель:

Ответ: {10}.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния:

Ответ: −12.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния:

Ответ: −12.

Ре­ше­ние. Зная, что у пря­мо­уголь­ни­ка диа­го­на­ли равны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, видим, что

 см. (см. рис.).

Тогда видно, что тре­уголь­ник AOD − рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, Так как и   — смеж­ные углы, Про­ве­дем те­перь AH пер­пен­ди­ку­ляр­но BD  — это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние(см.рис.). Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник AOH, в нем AH  — катет, ле­жа­щий про­тив угла в то есть рав­ный по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AO, то есть рав­ный 3.(см.рис.).

Ответ: 3 см.

Ре­ше­ние. Зная, что у пря­мо­уголь­ни­ка диа­го­на­ли равны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, видим, что см. (см. рис.).

Тогда видно, что тре­уголь­ник BOC − рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, Так как и   — смеж­ные углы, Про­ве­дем те­перь CH пер­пен­ди­ку­ляр­но BD  — это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние(см.рис.) Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник COH, в нем CH  — катет, ле­жа­щий про­тив угла в то есть рав­ный по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы CO, то есть рав­ный 4.

Ответ: 4см.

Ре­ше­ние. Решим со­от­вет­ству­ю­щее урав­не­ние, чтобы найти зна­че­ния x, ко­то­рые об­ра­ща­ют не­ра­вен­ство в вер­ное ра­вен­ство. За­ме­тим, что зна­ме­на­тель дроби об­ра­ща­ет­ся в 0 при x рав­ном 2. До­мно­жим на зна­ме­на­тель, после чего из­влечём ко­рень из обеих ча­стей, оста­вив слева и спра­ва мо­ду­ли, ко­то­рые в даль­ней­шем рас­кро­ем:

Итак, урав­не­ние об­ра­ща­ет­ся в 0 при x рав­ном −1, 2 или 5, причём число 2 яв­ля­ет­ся кор­нем чётной сте­пе­ни. Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим, что от­ве­том яв­ля­ют­ся по­лу­ин­тер­ва­лы

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим со­от­вет­ству­ю­щее урав­не­ние, чтобы найти зна­че­ния x, ко­то­рые об­ра­ща­ют не­ра­вен­ство в вер­ное ра­вен­ство. За­ме­тим, что зна­ме­на­тель дроби об­ра­ща­ет­ся в 0 при x рав­ном 1. До­мно­жим на зна­ме­на­тель, после чего из­влечём ко­рень из обеих ча­стей, оста­вив слева и спра­ва мо­ду­ли, ко­то­рые в даль­ней­шем рас­кро­ем:

Итак, урав­не­ние об­ра­ща­ет­ся в 0 при x рав­ном −1, 1 или 3, причём число 1 яв­ля­ет­ся кор­нем чётной сте­пе­ни. Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим, что от­ве­том яв­ля­ют­ся по­лу­ин­тер­ва­лы

Ответ:

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ: {−3}.

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ: {−4}.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на a пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его пе­ри­мет­ра, то есть см. Ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот ше­сти­уголь­ник окруж­но­сти равен то есть 3 см. Длину C впи­сан­ной окруж­но­сти найдём по фор­му­ле:

Ответ:

Ре­ше­ние. Сто­ро­на a пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его пе­ри­мет­ра, то есть см. Ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот ше­сти­уголь­ник окруж­но­сти равен то есть 9 см. Длину C впи­сан­ной окруж­но­сти найдём по фор­му­ле:

Ответ:

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим левую часть каж­до­го не­ра­вен­ства на мно­жи­те­ли:

Ответ: (−5; 4].

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим левую часть каж­до­го не­ра­вен­ства на мно­жи­те­ли: По­сколь­ку это си­сте­ма, нам нужны толь­ко общие ре­ше­ния обеих со­во­куп­но­стей: То есть

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние и На­не­сем корни на ко­ор­ди­нат­ные оси и рас­ста­вим знаки:

Видно, что ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся: {-5}

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние и На­не­сем корни на ко­ор­ди­нат­ные оси и рас­ста­вим знаки:

Видно, что ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся:

Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ: {(0,5; −3,5); (2; 1)}.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ: {(1,4; −0,4);(1; −2)}.

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние.

	Ско­рость, км/ч	Прой­ден­ный путь, км	Время, ч
Пер­вая по­ло­ви­на ди­стан­ции		S
Вто­рая по­ло­ви­на ди­стан­ция		S

Пусть S км  — по­ло­ви­на длины ди­стан­ции, тогда со­ста­вим вспо­мо­га­тель­ную таб­ли­цу по усло­ви­ям за­да­чи:

Из таб­ли­цы по­лу­ча­ем, что общее время

Де­ла­ем вывод о том, что спортс­мен своей цели не до­стиг.

Ответ: нет.

Ре­ше­ние. Пусть S км  — по­ло­ви­на длины ди­стан­ции, тогда со­ста­вим вспо­мо­га­тель­ную таб­ли­цу по усло­ви­ям за­да­чи:

	Ско­рость, км/ч	Прой­ден­ный путь, км	Время, ч
Пер­вая по­ло­ви­на ди­стан­ции		S
Вто­рая по­ло­ви­на ди­стан­ция		S

Из таб­ли­цы по­лу­ча­ем, что:

Де­ла­ем вывод о том, что спортс­мен своей цели не до­стиг.

Ответ: нет.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Най­дем ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны па­ра­бо­лы:

Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, по­это­му мно­же­ство зна­че­ний лежит в про­ме­жут­ке

Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Най­дем ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны па­ра­бо­лы:

Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, по­это­му мно­же­ство зна­че­ний лежит в про­ме­жут­ке

Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние. Пусть t  =  x², тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Пер­вое урав­не­ние со­во­куп­но­сти ре­ше­ний не имеет, его можно опу­стить.

Ответ: {−3; 3}.

Ре­ше­ние. Пусть t  =  x², тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Пер­вое урав­не­ние со­во­куп­но­сти ре­ше­ний не имеет, его можно опу­стить.

Ответ: {−2; 2}.

Ре­ше­ние. Вы­не­сем общий мно­жи­тель чис­ли­те­ля, а также рас­кро­ем скоб­ки в зна­ме­на­те­ле:

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Вы­не­сем общий мно­жи­тель чис­ли­те­ля, а также рас­кро­ем скоб­ки в зна­ме­на­те­ле:

Ответ: −2.

Ре­ше­ние.

Как это от­рез­ки, про­ве­ден­ные из цен­тра окруж­но­сти к точке на ней, то есть ра­ди­у­сы,

так как оба этих угла опи­ра­ют­ся на одну дугу,   — цен­траль­ный и   — впи­сан­ный. Зна­чит:

Ответ:

Ре­ше­ние. ##

Как от­рез­ки, про­ве­ден­ные из цен­тра окруж­но­сти к точке на ней, то есть ра­ди­у­сы,

так как оба этих угла опи­ра­ют­ся на одну дугу,   — цен­траль­ный и   — впи­сан­ный. Зна­чит:

Ответ:

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Опу­стим вы­со­ту BH на сто­ро­ну AD. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH катет BH лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB, то есть, 2 см. Тогда пло­щадь ромба равна 8  — про­из­ве­де­нию сто­ро­ны на вы­со­ту. По фор­му­ле пло­ща­ди ромба S  =  pr, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае рав­ный 8 см. По­лу­ча­ем, что r  =  1 см, а длина окруж­но­сти, ко­то­рую можно найти по фор­му­ле равна

Ответ:

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Опу­стим вы­со­ту BH на сто­ро­ну AD. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH катет BH лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB, то есть, 4. Тогда пло­щадь ромба равна 32  — про­из­ве­де­нию сто­ро­ны на вы­со­ту. По фор­му­ле пло­ща­ди ромба S  =  pr, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае рав­ный 16. По­лу­ча­ем, что r  =  2, а длина окруж­но­сти, ко­то­рую можно найти по фор­му­ле равна

Ответ:

Ре­ше­ние. Гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках (4;2) и (2;4).

Ре­ше­ние. По­стро­им гра­фи­ки по точ­кам:

Гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках (4;1) и (1;4).

Ре­ше­ние. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

Чтобы найти ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABС, ис­поль­зу­ем фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Ответ: 6,25 см.

Ре­ше­ние. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

Чтобы найти ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABС, ис­поль­зу­ем фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ках ABC и DEF углы ACB и DFE равны, по­сколь­ку яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми с рав­ны­ми уг­ла­ми 1 и 2. Так как сто­ро­на AD равна CF, то AD + DC = DC + CF и AC = DF. Тре­уголь­ни­ки ABC и DEF равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AC = DF, BC = EF, углы ACB и DFE равны).

Тогда углы BAC и FDE равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Они между собой собой яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­ны­ми уг­ла­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых AB и DE се­ку­щей AF. По­это­му AB || DE.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ках ABC и DEF углы ABC и FDE равны, по­сколь­ку яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми с рав­ны­ми уг­ла­ми 2 и 1. Так как от­ре­зок AD равен BF, то AD + DB = DB + BF и AB = DF. Тре­уголь­ни­ки ABC и DEF равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AB = DF, BC = ED, углы ABC и FDE равны).

Тогда углы BAC и DFE равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Они между собой собой яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми уг­ла­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых AC и FE се­ку­щей AF. По­это­му AC || FE.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. Пусть AC = CB = 10, AB = 12.

1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, AH = HB = 12 : 2 = 6.

Из тре­уголь­ни­ка BCH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CH:

2)  Центр впи­сан­ной окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. Про­ве­дем BD  — бис­сек­три­са угла CBA. Она пе­ре­се­ка­ет CH в точке O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти.

3)  OH—ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ: 3

Ре­ше­ние. Пусть AC = CB = 5, AB = 8.

1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, AH= HB = 8 : 2 = 4.

Из тре­уголь­ни­ка BCH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CH:

2)  Центр впи­сан­ной окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. Про­ве­дем BD  — бис­сек­три­са угла CBA. Она пе­ре­се­ка­ет CH в точке O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти.

3)  OH—ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ:

Ре­ше­ние. Чётными на­зы­ва­ют функ­ции, не ме­ня­ю­щие сво­е­го зна­че­ния при из­ме­не­нии знака ар­гу­мен­та. Про­ве­рим чётность дан­ной функ­ции:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся ис­ход­ной функ­ци­ей, а зна­чит, яв­ля­ет­ся чётной.

Ре­ше­ние. Чётными на­зы­ва­ют функ­ции, не ме­ня­ю­щие сво­е­го зна­че­ния при из­ме­не­нии знака ар­гу­мен­та. Про­ве­рим чётность дан­ной функ­ции:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся ис­ход­ной функ­ци­ей, а зна­чит, яв­ля­ет­ся чётной.

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ: {2}.

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ: {3}.

Ре­ше­ние. Пусть x тонн  — гру­зо­подъ­ем­ность пер­вой ма­ши­ны, тогда  тонн  — гру­зо­подъ­ем­ность вто­рой ма­ши­ны. Зная раз­ность вре­мен пе­ре­воз­ки груза пер­вой и вто­рой ма­ши­на­ми, вы­ра­зим ее через эти вре­ме­на и най­дем x.

Учи­ты­вая ОДЗ на зна­ме­на­тель, по­лу­ча­ем, что

Так как ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мо­го груза не от­ри­ца­тель­но, число 3  — ис­ко­мое зна­че­ние x, тогда вто­рая ма­ши­на пе­ре­во­зит  тонн груза.

Ответ: 5 тонн.

Ре­ше­ние. Пусть x тонн  — гру­зо­подъ­ем­ность пер­вой ма­ши­ны, тогда  тонн  — гру­зо­подъ­ем­ность вто­рой ма­ши­ны. Зная раз­ность вре­мен пе­ре­воз­ки груза пер­вой и вто­рой ма­ши­на­ми, вы­ра­зим ее через эти вре­ме­на и най­дем x.

Учи­ты­вая ОДЗ на зна­ме­на­тель, по­лу­ча­ем, что

Так как ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мо­го груза не от­ри­ца­тель­но, число 3  — ис­ко­мое зна­че­ние x, тогда вто­рая ма­ши­на пе­ре­во­зит тонны груза.

Ответ: 3 тонны.

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы, со­ста­вив со­от­вет­сву­ю­щее урав­не­ние:

Нанесём корни на ось, рас­ста­вим знаки и по­лу­чим, что

00%">

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Найдём пе­ре­се­че­ния ре­ше­ний не­ра­венств, из ри­сун­ка видно, что ре­ше­ни­ем си­сте­мы будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы, со­ста­вив со­от­вет­сву­ю­щее урав­не­ние:

Нанесём корни на ось, рас­ста­вим знаки и по­лу­чим, что

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Найдём пе­ре­се­че­ния ре­ше­ний не­ра­венств, из ри­сун­ка видно, что ре­ше­ни­ем си­сте­мы будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. В дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: a₁  =  478; a₂  =  473; d  =  a₂ − a₁  =  473 − 478  =  −5. Так как раз­ность про­грес­сии от­ри­ца­тель­ная, то про­грес­сия убы­ва­ю­щая. Най­дем ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чле­нов про­грес­сии:

Зна­чит, про­грес­сия со­дер­жит 96 по­ло­жи­тель­ных чле­нов, най­дем их сумму по фор­му­ле :

Ответ: 23 088.

Ре­ше­ние. В дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Так как раз­ность про­грес­сии от­ри­ца­тель­ная, то про­грес­сия убы­ва­ю­щая. Най­дем по­след­ний по­ло­жи­тель­ный член про­грес­сии:

Зна­чит, про­грес­сия со­дер­жит 116 по­ло­жи­тель­ных чле­нов, най­дем их сумму по фор­му­ле :

Ответ: 33 814.

Ре­ше­ние. Корни чис­ли­те­ля:

Корни зна­ме­на­те­ля: то есть и 3.

Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Корни чис­ли­те­ля:

Корни зна­ме­на­те­ля: то есть и 2.

Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Длина окруж­но­сти равна 2πR, тогда

от­ку­да

Так как, по усло­вию CB  =  9, то тре­уголь­ник COB  — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но,

Так как гра­дус­ная мера цен­траль­но­го угла равна гра­дус­ной мере дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, то дуга

Длина дуги на­хо­дит­ся по фор­му­ле Длина дуги BC равна:

Ответ: 3π.

Ре­ше­ние. Длина окруж­но­сти равна 2πR, тогда

от­ку­да

Так как, по усло­вию CB  =  6, то тре­уголь­ник COB  — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но,

Так как гра­дус­ная мера цен­траль­но­го угла равна гра­дус­ной мере дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, то дуга

Длина дуги на­хо­дит­ся по фор­му­ле Длина дуги BC равна:

Ответ: 2π.

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство с по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов:

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство с по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов:

Ответ: