Ре­ше­ние. За­ме­тим, что 16  =  2⁴, 8  =  2³, а 4  =  2². Тогда, так как при воз­ве­де­нии числа в сте­пе­ни a в сте­пень b, сте­пе­ни пе­ре­мно­жа­ют­ся, ис­ход­ную сумму можно пред­ста­вить в виде:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что 9  =  3², 81  =  3⁴, а 27  =  3³. Тогда, так как при воз­ве­де­нии числа в сте­пе­ни a в сте­пень b, сте­пе­ни пе­ре­мно­жа­ют­ся, ис­ход­ную сумму можно пред­ста­вить в виде:

Ответ:

Ре­ше­ние. Дан­ный в за­да­че тре­уголь­ник при­ведён на ри­сун­ке (см. рис). Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой на­хож­де­ния длины бис­сек­три­сы:

Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, по­это­му:

Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу (1):

Ответ:

Ре­ше­ние. Дан­ный в за­да­че тре­уголь­ник при­ведён на ри­сун­ке (см. рис).

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой на­хож­де­ния длины бис­сек­три­сы:

Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, по­это­му:

Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу (1):

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что x² + 3x − 18  =  (x − 3)(x + 6), тогда:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что x² + 3x − 28  =  (x − 4)(x + 7), тогда:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, из­ба­вив­шись от ир­ра­ци­о­наль­но­сти в зна­ме­на­те­ле:

Ответ: -4.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, из­ба­вив­шись от ир­ра­ци­о­наль­но­сти в зна­ме­на­те­ле:

Ответ: -6.

Ре­ше­ние. Пусть ско­рость иду­ще­го в B равна x в км/ч, а ско­рость иду­ще­го в A  — y в км/ч.

Ис­хо­дя из этого и усло­вий за­да­чи со­ста­вим вспо­мо­га­тель­ную таб­ли­цу:

	Ско­рость, км/ч	Время до встре­чи, ч	Прой­ден­ный путь до мо­мен­та встре­чи, км	Время на путь между пунк­та­ми А и В, ч
Пе­ше­ход, дви­гав­ший­ся из А в В	x
Пе­ше­ход, дви­гав­ший­ся из В в А	y

Со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний, отоб­ра­жа­ю­щую от­но­ше­ния между ис­ко­мы­ми пе­ре­мен­ны­ми:

От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, по­лу­ча­ем ско­рость иду­ще­го из A x  =  5 км/ч, а ско­рость иду­ще­го из B рав­ной y  =  9-5  =  4 км/ч.

Ответ: 5 км/ч и 4 км/ч.

Ре­ше­ние.

	Ско­рость, км/ч	Время до встре­чи, ч	Прой­ден­ный путь до мо­мен­та встре­чи, ч	Время на путь между пунк­та­ми А и В, ч
Ве­ло­си­пе­дист	x
Пе­ше­ход	y

Пусть ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна x в км/ч, а ско­рость пе­ше­хо­да  — y в км/ч.

Ис­хо­дя из этого и усло­вий за­да­чи со­ста­вим вспо­мо­га­тель­ную таб­ли­цу:

Со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний, отоб­ра­жа­ю­щую от­но­ше­ния между ис­ко­мы­ми пе­ре­мен­ны­ми:

От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, по­лу­ча­ем ско­рость ве­ло­си­пе­ди­стаx  =  12 км/ч, а ско­рость пе­ше­хо­да рав­ной y  =  16-12  =  4 км/ч.

Ответ: 12 км/ч и 4 км/ч.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми кор­ней и вы­не­сем общие мно­жи­те­ли в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле:

Ответ:

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми кор­ней и вы­не­сем общие мно­жи­те­ли в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле дроби:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим a массу че­ты­рех­про­цент­но­го рас­тво­ра, а b массу де­ся­ти­про­цент­но­го рас­тво­ра. Так как оба этих рас­тво­ра вме­ши­ва­ли и по­лу­чи­ли рас­твор мас­сой 180 г, a+b=180. Тогда масса соли в пер­вом и вто­ром рас­тво­ре равна массе соли в тре­тьем. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

По­лу­ча­ем, что масса че­ты­рех­про­цент­но­го рас­тво­ра - 120 г, а масса де­ся­ти­про­цент­но­го рас­тво­ра - 60 г.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим a массу два­дца­ти­про­цент­но­го спла­ва, а b массу пя­ти­де­ся­ти­про­цент­но­го спла­ва. Так как оба этих рас­тво­ра вме­ши­ва­ли и по­лу­чи­ли рас­твор мас­сой 30 кг, a + b = 30. Тогда масса меди в пер­вом и вто­ром спла­ве равна массе меди в тре­тьем. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:
По­лу­ча­ем, что масса два­дца­ти­про­цент­но­го спла­ва  — 20 кг, а масса пя­ти­де­ся­ти­про­цент­но­го спла­ва  — 10 кг.

Ре­ше­ние. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

1	Ско­рость дви­же­ния, км/ч	Прой­ден­ный путь, км	Время дви­же­ния, ч
Дви­же­ние ве­ло­си­пе­ди­ста от A до мо­мен­та встре­чи	x
Дви­же­ние гру­зо­ви­ка от A до мо­мен­та встре­чи	y

2	Ско­рость дви­же­ния, км/ч	Время дви­же­ния, ч	Прой­ден­ный путь, км
Дви­же­ние ве­ло­си­пе­ди­ста	x
Дви­же­ние гру­зо­ви­ка	y

Так как решим со­от­вет­ству­ю­щую си­сте­му.

Решим урав­не­ние (⁎):

По смыс­лу за­да­чи x > 0, по­это­му x  =  4 км/ч, а

Ответ: ско­рость пе­ше­хо­да 4 км/ч, а ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста  — 9 км/ч.

Ре­ше­ние. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

1	Ско­рость дви­же­ния, км/ч	Прой­ден­ный путь, км	Время дви­же­ния, ч
Дви­же­ние ве­ло­си­пе­ди­ста от A до мо­мен­та встре­чи	x
Дви­же­ние гру­зо­ви­ка от A до мо­мен­та встре­чи	y

2	Ско­рость дви­же­ния, км/ч	Время дви­же­ния, ч	Прой­ден­ный путь, км
Дви­же­ние ве­ло­си­пе­ди­ста	x
Дви­же­ние гру­зо­ви­ка	y

Так как решим со­от­вет­ству­ю­щую си­сте­му.

Решим урав­не­ние (⁎):

По смыс­лу за­да­чи y > 0, по­это­му y  =  30 км/ч, а

Ответ: ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста 12 км/ч, а гру­зо­ви­ка  — 30 км/ч.

Ре­ше­ние. 1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Так как D  =  2R, то

Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда

2)  На­хо­дим и тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 288.

Ре­ше­ние. 1.  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Диа­метр Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда то есть

2.  За­ме­тим, что BC  =  AH. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

Так как BC = AH, то по­лу­ча­ем

Тогда и BC  =  8.

3.  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 192 см².

Ре­ше­ние. Пусть ра­бо­та, вы­пол­ня­е­мая бри­га­да­ми, равна 1, а про­из­во­ди­тель­ность пер­вой бри­га­ды равна x. Тогда про­из­во­ди­тель­ность вто­рой бри­га­ды равна где   — время, за ко­то­рое вы­пол­ня­ет ра­бо­ту пер­вая бри­га­да.

Бри­га­да	Про­из­во­ди­тель­ность	Время	Объём ра­бо­ты
Пер­вая	x		1
Вто­рая			1

Со­ста­вим и решим урав­не­ние по дан­ным за­да­чи:

От­ри­ца­тель­ный ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи. Найдём, за сколь­ко дней пер­вая бри­га­да вы­пол­нит всю ра­бо­ту:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть ра­бо­та, вы­пол­ня­е­мая бри­га­да­ми, равна 1, а про­из­во­ди­тель­ность пер­вой бри­га­ды равна x. Тогда про­из­во­ди­тель­ность вто­рой бри­га­ды равна где   — время, за ко­то­рое вы­пол­ня­ет ра­бо­ту пер­вая бри­га­да.

Бри­га­да	Про­из­во­ди­тель­ность	Время	Объём ра­бо­ты
Пер­вая	x		1
Вто­рая			1

Со­ста­вим и решим урав­не­ние по дан­ным за­да­чи:

От­ри­ца­тель­ный ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи. Найдём, за сколь­ко дней пер­вая бри­га­да вы­пол­нит всю ра­бо­ту:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. На ри­сун­ке ABCD  — ромб, AC  — его диа­го­наль, BH  — вы­со­та (см. рис).

Так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH (BH  — вы­со­та) AM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой.

По­сколь­ку бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, имеем:

или, ис­хо­дя из того что MB > HM:

При­мем AB как 10x, AH  — как 6x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

По­это­му сто­ро­на AB равна 20 см.

Пе­ри­метр ромба равен его сто­ро­не, взя­той 4 раза. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр ABCD равен 80 см.

Ответ: 80 см.

Ре­ше­ние. На ри­сун­ке ABCD  — ромб, AC  — его диа­го­наль, BH  — вы­со­та (см. рис). Так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH (BH  — вы­со­та) AM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой. По­сколь­ку бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, имеем:

или, ис­хо­дя из того что MB > HM:

При­мем AB как 25x, AH  — как 15x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

По­это­му сто­ро­на AB равна 50 см. Пе­ри­метр ромба равен его сто­ро­не, взя­той 4 раза. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр ABCD равен 200 см.

Ответ: 200 см.

Ре­ше­ние. Пусть x  — про­цент сни­же­ния цены в пер­вый раз, тогда 2x  — про­цент сни­же­ния цены во вто­рой раз. Най­дем какой стала цена после пер­во­го сни­же­ния: После вто­ро­го сни­же­ния цена стала:

Так как по усло­вию за­да­чи товар стал сто­ить 59 руб. 50 коп., то есть 59,5 руб., то мы можем со­ста­вить урав­не­ние:

Вто­рой ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи, по­это­му цена то­ва­ра сни­зи­лась в пер­вый раз на 15%.

Ответ: 15%.

Ре­ше­ние. Пусть x  — про­цент сни­же­ния цены в пер­вый раз, тогда 2x  — про­цент сни­же­ния цены во вто­рой раз. Най­дем какой стала цена после пер­во­го сни­же­ния: После вто­ро­го сни­же­ния цена стала:

Так как по усло­вию за­да­чи товар стал сто­ить 85 руб. 50 коп., то есть 85,5 руб., то мы можем со­ста­вить урав­не­ние:

Вто­рой ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи, по­это­му цена то­ва­ра сни­зи­лась в пер­вый раз на 5%.

Ответ: 5%.

Ре­ше­ние. Пусть x м  — пер­во­на­чаль­ная вы­со­та ели, тогда 1,25x  — пер­во­на­чаль­ная вы­со­та сосны, тогда, после под­рас­та­ния, вы­со­та ели равна а вы­со­та сосны  — Так как те­перь сосна на 10% выше ели, со­ста­вим урав­не­ние на x и най­дем его.

Ответ: 1,2 м.

Ре­ше­ние. Пусть x м  — пер­во­на­чаль­ная вы­со­та ели, тогда 1,25x  — пер­во­на­чаль­ная вы­со­та сосны, тогда, после под­рас­та­ния, вы­со­та ели равна а вы­со­та сосны  — Так как те­перь сосна на 10% выше ели, со­ста­вим урав­не­ние на x и най­дем его.

Ответ: 1,4 м.

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, что числа, ко­то­рые при де­ле­нии на 13 дают в остат­ке 7, об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, за­да­ва­е­мую по фор­му­ле где d  =  13, а a₀  — пер­вый не­от­ри­ца­тель­ный член про­грес­сии, то есть, число 7. Найдём пер­вый и по­след­ний трёхзнач­ные члены про­грес­сии:

Так как n и m  — целые числа, они равны со­от­вет­ствен­но 9 и 77, тогда пер­вый и по­след­ний под­хо­дя­щие члены про­грес­сии равны 111 и 995, а ко­ли­че­ство ис­ко­мых чисел равно 77 − 9 + 1  =  69. Сумма ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равна по­лу­сум­ме пер­во­го и по­след­не­го члена, умно­жен­ной на ко­ли­че­ство чисел. В нашем слу­чае:

Ответ: 38 157.

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, что числа, ко­то­рые при де­ле­нии на 19 дают в остат­ке 6, об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, за­да­ва­е­мую по фор­му­ле где d  =  19, а a₀  — пер­вый не­от­ри­ца­тель­ный член про­грес­сии, то есть, число 6. Найдём пер­вый и по­след­ний трёхзнач­ные члены про­грес­сии:

Так как n и m  — целые числа, они равны со­от­вет­ствен­но 6 и 53, тогда пер­вый и по­след­ний под­хо­дя­щие члены про­грес­сии равны 101 и 994, а ко­ли­че­ство ис­ко­мых чисел равно 53 − 6 + 1  =  48. Сумма ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равна по­лу­сум­ме пер­во­го и по­след­не­го члена, умно­жен­ной на ко­ли­че­ство чисел. В нашем слу­чае:

Ответ: 26 280.

Ре­ше­ние. До­стро­им па­рал­ле­ло­грамм до тра­пе­ции, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма,

Так как BD  — вы­со­та, то угол AOD равен 90°, зна­чит, тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма BC = AD = 12, а HP = BD = 10, тогда

Ответ: 60 см².

Ре­ше­ние. До­стро­им па­рал­ле­ло­грамм до тра­пе­ции, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма

Так как BD  — вы­со­та, то угол AOD равен 90°, зна­чит, тре­уголь­ник AOD  — рав­но­бед­рен­ный.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма BC = AD = 8, а HK = BD = 12, тогда

Ответ: 48 см².

Ре­ше­ние. Пусть x ку­стов вы­са­жи­ва­ла в час вто­рая бри­га­да. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Объём работ, ку­стов	Про­из­во­ди­тель­ность, ку­стов/ч.	Время, ч.
Пер­вая бри­га­да	120	x + 4
Вто­рая бри­га­да	144	x

Так как пер­вая бри­га­да ра­бо­та­ла на 3 часа мень­ше вто­рой, со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Вто­рая бри­га­да са­жа­ла 16 ку­стов в час, а пер­вая  — 20 ку­стов в час.

Ответ: 20 ку­стов; 16 ку­стов.

Ре­ше­ние. Пусть x ку­стов вы­са­жи­вал в час пер­вый ра­бот­ник. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Объём работ, ку­стов	Про­из­во­ди­тель­ность, ку­стов/ч.	Время, ч.
Пер­вый ра­бот­ник	360	x
Вто­рой ра­бот­ник	480	x + 10

Так как пер­вый ра­бот­ник вы­са­жи­вал рас­са­ду на 2 ч. доль­ше, со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Пер­вый ра­бот­ник сажал 20 ку­стов в час, а вто­рой  — 30 ку­стов в час.

Ответ: 20 ку­стов; 30 ку­стов.

Ре­ше­ние. Так как по усло­вию эти ве­ли­чи­ны нам из­вест­ны, за­пи­шем сле­ду­ю­щим об­ра­зом: По свой­ству угла бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка По­лу­ча­ем, что

Ре­ше­ние. Имеем: Так как по усло­вию эти ве­ли­чи­ны из­вест­ны, за­пи­шем сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

По свой­ству угла бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка По­лу­ча­ем, что от­ку­да

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пусть x (x>0)  — время, за ко­то­рое опыт­ный ку­рьер раз­во­зит 60 за­ка­зов. (Ра­бо­та равна )

Тогда x + 3  — время, за ко­то­рое ста­жер раз­во­зит 60 за­ка­зов. (Ра­бо­та равна )

Так как при сов­мест­ной ра­бо­те они за один день раз­во­зят 30 за­ка­зов, то можно со­ста­вить урав­не­ние:

3 дня  — время, за ко­то­рое опыт­ный ку­рьер раз­во­зит 60 за­ка­зов, тогда 3 + 3 = 6 дней  — время, за ко­то­рые ста­жер раз­во­зит 60 за­ка­зов. Сле­до­ва­тель­но, 10 за­ка­зов он раз­везёт за 1 день, а 90 за 9 дней.

Ре­ше­ние. Пусть x (x>0)  — время, за ко­то­рое ма­стер из­го­тав­ли­ва­ет 120 де­та­лей. (Ра­бо­та равна )

Тогда x + 6  — время, за ко­то­рое прак­ти­кант из­го­тав­ли­ва­ет 120 де­та­лей. (Ра­бо­та равна )

Так как при сов­мест­ной ра­бо­те они за один час из­го­тав­ли­ва­ют 30 де­та­лей, то можно со­ста­вить урав­не­ние:

6 часов  — время, за ко­то­рое ма­стер из­го­тав­ли­ва­ет 120 де­та­лей, тогда 6 + 6 = 12 часов  — время, за ко­то­рые прак­ти­кант из­го­тав­ли­ва­ет 120 де­та­лей. Сле­до­ва­тель­но, 10 де­та­лей он из­го­тав­ли­ва­ет за 1 час, а 50 за 5 часов.

Ре­ше­ние. Пусть тогда имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Виета по усло­вию Решим со­от­вет­ству­ю­щую си­сте­му.

Тогда c = 5 · (−2) = −10.

Ответ: {−2; 5}; −10.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Виета по усло­вию Решим со­от­вет­ству­ю­щую си­сте­му.

Тогда c = 7 · (−3) = −21.

Ответ: {−3; 7}; −21.

Ре­ше­ние. Вве­дем за­ме­ну. Пусть тогда имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Вве­дем за­ме­ну. Пусть тогда имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим не­ра­вен­ство в виде си­сте­мы:

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

Так как ре­ше­ние си­сте­мы  — про­ме­жу­ток [1; 4).

Ответ: [1; 4).

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим не­ра­вен­ство в виде си­сте­мы:

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

Так как ре­ше­ние си­сте­мы  — про­ме­жу­ток [1; 3).

Ответ: [1; 3).

Ре­ше­ние. Из­ба­вим­ся от ир­ра­ци­о­наль­но­сти:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Из­ба­вим­ся от ир­ра­ци­о­наль­но­сти и по­лу­чим:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ABK и ABC по­доб­ны по двум углам, а зна­чит, их со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны от­но­сят­ся оди­на­ко­во. Нас ин­те­ре­су­ет ра­вен­ство Найдём AB:

Далее найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK по фор­му­ле где угол α лежит между сто­рон a и b:

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ACK и ABC по­доб­ны по двум углам, а зна­чит, их со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны от­но­сят­ся оди­на­ко­во. Нас ин­те­ре­су­ет ра­вен­ство Найдём AC:

Далее найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK по фор­му­ле где угол α лежит между сто­рон a и b:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть a_n  — член про­грес­сии, a d  — раз­ность про­грес­сии. Тогда Поль­зу­ясь дан­ным фак­том и усло­ви­я­ми за­да­чи, со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть a_n  — член про­грес­сии, a d  — раз­ность про­грес­сии. Тогда Поль­зу­ясь дан­ным фак­том и усло­ви­я­ми за­да­чи, со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Усполь­зуя свой­ство квад­рат­но­го корня а также свой­ство мо­ду­ля и вы­чис­лим:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Усполь­зуя свой­ство квад­рат­но­го корня а также свой­ство мо­ду­ля и вы­чис­лим:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Про­из­ве­дем пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 0.

Ре­ше­ние. Про­из­ве­дем пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му урав­не­ний, из­ба­вив­шись от дро­бей и крат­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов:

За­ме­тим, что уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты функ­ций (1) и (2) равны, то есть , зна­чит, гра­фи­ки функ­ций пред­став­ле­ны па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми. Тогда си­сте­ма урав­не­ний (1), (2) не имеет ре­ше­ний.

Ответ: си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му урав­не­ний, из­ба­вив­шись от дро­бей и крат­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов:

За­ме­тим, что уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты функ­ций (1) и (2) равны, то есть , зна­чит, гра­фи­ки функ­ций пред­став­ле­ны па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми. Тогда си­сте­ма урав­не­ний (1), (2) не имеет ре­ше­ний.

Ответ: си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Ре­ше­ние. Пусть ши­ри­на участ­ка равна x м. Тогда длина этого участ­ка равна x + 10 м., а его пло­щадь  — x (x + 10) м². Ис­хо­дя из усло­вий, со­ста­вим и решим си­сте­му не­ра­венств:

С по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем,

что ре­ше­ние си­сте­мы:

От­ри­ца­тель­ные зна­че­ния не под­хо­дят нам по смыс­лу за­да­чи. Зна­чит, ши­ри­на участ­ка лежит в от­рез­ке а длина лежит в от­рез­ке

Ответ: ши­ри­на: от 3 до 8 м.; длина: от 13 до 18 м.

Ре­ше­ние. Пусть ши­ри­на участ­ка равна x м. Тогда длина этого участ­ка равна x + 8 м., а его пло­щадь  — x (x + 8) м². Ис­хо­дя из усло­вий, со­ста­вим и решим си­сте­му не­ра­венств:

С по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем,

что ре­ше­ние си­сте­мы:

От­ри­ца­тель­ные зна­че­ния не под­хо­дят нам по смыс­лу за­да­чи. Зна­чит, ши­ри­на участ­ка лежит в от­рез­ке а длина лежит в от­рез­ке

Ответ: ши­ри­на: от 4 до 8 м.; длина: от 12 до 16 м.

Ре­ше­ние. Чтобы оце­нить вы­ра­же­ние, не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее и наи­боль­шее его зна­че­ние. Так как 3a и по­ло­жи­тель­ные числа, то для по­лу­че­ния наи­мень­ше­го зна­че­ния вы­ра­же­ния надо из наи­мень­ше­го пер­во­го сла­га­е­мо­го вы­честь наи­боль­шее вто­рое: и, на­о­бо­рот, чтобы по­лу­чить наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния, не­об­хо­ди­мо из наи­боль­ше­го пер­во­го сла­га­е­мо­го вы­честь наи­мень­шее вто­рое:

Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Чтобы оце­нить вы­ра­же­ние, не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее и наи­боль­шее его зна­че­ние. Так как 2a и по­ло­жи­тель­ные числа, то для по­лу­че­ния наи­мень­ше­го зна­че­ния вы­ра­же­ния надо из наи­мень­ше­го пер­во­го сла­га­е­мо­го вы­честь наи­боль­шее вто­рое: и на­о­бо­рот, чтобы по­лу­чить наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния, не­об­хо­ди­мо из наи­боль­ше­го пер­во­го сла­га­е­мо­го вы­честь наи­мень­шее вто­рое:

Имеем:

Ре­ше­ние. Пусть ис­ко­мое число равно где a  — ко­ли­че­ство де­сят­ков, а b  — ко­ли­че­ство еди­ниц. Со­ста­вим си­сте­му по усло­вию за­да­чи

Ко­ли­че­ство еди­ниц  — целое не­от­ри­ца­тель­ное число, по­это­му b  =  3, a  =  2(3 + 1)  =  8, то есть, ис­ко­мое число  — 83.

Ответ: 83.

Ре­ше­ние. Пусть ис­ко­мое число равно где a  — ко­ли­че­ство де­сят­ков, а b  — ко­ли­че­ство еди­ниц. Со­ста­вим си­сте­му по усло­вию за­да­чи

Ко­ли­че­ство де­сят­ков  — целое не­от­ри­ца­тель­ное число, по­это­му a  =  2, b  =  2  · 2 − 1  =  3, то есть, ис­ко­мое число  — 23.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABD и ACD. Они имеют общее ос­но­ва­ние и рав­ные вы­со­ты (см.рис.). Зна­чит, их пло­ща­ди равны. Так как пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOD вхо­дит в пло­щадь каж­до­го из рас­смот­рен­ных тре­уголь­ни­ков, эту пло­щадь можно эли­ми­ни­ро­вать. Таким об­ра­зом, S_AOB = S_DOC. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. Про­ведём CH  — вы­со­ту тра­пе­ции.

По тео­ре­ме Фа­ле­са BC  =  DK. Зна­чит, тогда

и

Зна­чит, S_ACK  =  S_ABCD, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Из этого видно, что Так как общий для тре­уголь­ни­ков ABC и MNC(см.рис.), а также, так как видно, что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уго­льи­ку MNC. Зна­чит, а так как эти углы  — со­от­вет­ствен­ные при се­ку­щей AC, то по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Из этого видно, что Так как углы и вер­ти­каль­ные (см. рис.), а также, так как видно, что тре­уголь­ник AOB по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC. Зна­чит, а так как эти углы  — на­крест ле­жа­щие при се­ку­щей AC, то по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Ре­ше­ние. Пусть x  — время, ко­то­рое не­об­хо­ди­мо пер­во­му ра­бо­че­му, чтобы вы­пол­нить все за­да­ние, зна­чит, вто­рой по­тра­тит x + 3. Тогда пер­вый ра­бо­чий вы­пол­нит за че­ты­ре часа за­да­ния, а вто­рой за три часа вы­пол­нит так как за это время они вы­пол­ни­ли за­да­ние пол­но­стью, мы можем со­ста­вить урав­не­ние:

Так как время не может быть от­ри­ца­тель­ным, по­лу­ча­ем, что на вы­пол­не­ние за­да­ния пер­во­му ра­бо­че­му не­об­хо­ди­мо 6 часов.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть x  — время, ко­то­рое не­об­хо­ди­мо вто­ро­му ра­бо­че­му, чтобы вы­пол­нить все за­да­ние, тогда пер­вый по­тра­тит x + 4. Тогда вто­рой ра­бо­чий вы­пол­нит за шесть часов за­да­ния, а пер­вый за три часа вы­пол­нит так как за это время они вы­пол­ни­ли за­да­ние, мы можем со­ста­вить урав­не­ние:

Так как время не может быть от­ри­ца­тель­ным, по­лу­ча­ем, что на вы­пол­не­ние за­да­ния вто­ро­му ра­бо­че­му не­об­хо­ди­мо 8 часов.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пра­виль­ный мно­го­уголь­ник имеет n углов и сто­рон. Тогда сумма его внут­рен­них углов равна 180°(n − 2). А сумма внеш­них углов равна:

По усло­вию за­да­чи имеем:

Зна­чит, нам дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Его внут­рен­ний угол равен 135°. Найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка A₁A₂A_n:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пра­виль­ный мно­го­уголь­ник имеет n углов и сто­рон. Тогда сумма его внут­рен­них углов равна 180°(n − 2). А сумма внеш­них углов равна:

По усло­вию за­да­чи имеем:

Зна­чит, нам дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Его угол равен 135°. Найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка A₁A₂A_n:

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем скоб­ки и из­ба­вим­ся от знака ра­ди­ка­ла:

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем скоб­ки и из­ба­вим­ся от знака ра­ди­ка­ла:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть x+2 л  — ко­ли­че­ство топ­ли­ва на 100 км для дви­же­ния по го­ро­ду. км/л  — рас­ход топ­ли­ва на 1 км по го­ро­ду

Тогда x л  — ко­ли­че­ство топ­ли­ва на 100 км для дви­же­ния по трас­се. км/л  — рас­ход топ­ли­ва на 1 км по трас­се.

Так как, про­ехав 550 км по трас­се, ав­то­мо­биль из­рас­хо­до­вал на 31 л топ­ли­ва боль­ше чем на 130 км про­бе­га по го­ро­ду, то можно со­ста­вить урав­не­ние:

Ав­то­мо­биль на 100 км по трас­се рас­хо­ду­ет 8 л топ­ли­ва. Тогда на трас­се ав­то­мо­биль из­рас­хо­до­вал л.

Ответ: 44 л.

Ре­ше­ние. Пусть x+2 л  — ко­ли­че­ство топ­ли­ва на 100 км для дви­же­ния по го­ро­ду. км/л  — рас­ход топ­ли­ва на 1 км по го­ро­ду

Тогда x л  — ко­ли­че­ство топ­ли­ва на 100 км для дви­же­ния по трас­се. км/л  — рас­ход топ­ли­ва на 1 км по трас­се.

Так как, ав­то­мо­биль про­ехал 380 км по трас­се и 120 км по го­ро­ду, из­рас­хо­до­вав при этом 52,4 л топ­ли­ва, то можно со­ста­вить урав­не­ние:

Ав­то­мо­биль на 100 км по трас­се рас­хо­ду­ет 10 л топ­ли­ва. Тогда на трас­се ав­то­мо­биль из­рас­хо­до­вал л.

Ответ: 38 л.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что так как они од­но­сто­рон­ние, тогда угол

Зна­чит, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка угол Тогда

Но а Зна­чит,

Ответ: 48 см².

При­ме­ча­ние.

Во вто­рой части ре­ше­ния можно было пойти иным путём. Он пред­став­лен во ва­ри­ан­те 78.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что так как они од­но­сто­рон­ние, тогда угол

Зна­чит, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка угол Тогда

Но а Зна­чит,

Ответ: 28 см².

При­ме­ча­ние.

Во вто­рой части ре­ше­ния можно было пойти иным путём. Знаем, что так как у тре­уголь­ни­ков общее ос­но­ва­ние и рав­ные вы­со­ты. А диа­го­наль BD делит ABCD на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, зна­чит,

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Виета:

Пре­об­ра­зу­ем дан­ное вы­ра­же­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния, и вы­чис­лим его зна­че­ние:

Ответ:

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Виета:

Пре­об­ра­зу­ем дан­ное вы­ра­же­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния, и вы­чис­лим его зна­че­ние:

Ответ: