В угол впи­са­ны две ка­са­ю­щи­е­ся внеш­ним об­ра­зом окруж­но­сти. Длина боль­шей из них равна 12 см, рас­сто­я­ние от ее цен­тра до вер­ши­ны угла равно 30 см. Най­ди­те длину мень­шей окруж­но­сти.

В угол впи­са­ны две ка­са­ю­щи­е­ся внеш­ним об­ра­зом окруж­но­сти. Длина мень­шей из них равна 4 см, рас­сто­я­ние от ее цен­тра до вер­ши­ны угла равно 10 см. Най­ди­те длину боль­шей окруж­но­сти.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Около пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка опи­са­на окруж­ность, и в этот же мно­го­уголь­ник впи­са­на еще одна окруж­ность. Пло­щадь коль­ца, огра­ни­чен­но­го этими окруж­но­стя­ми, равна 64 см². Най­ди­те длину сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка.

Около пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка опи­са­на окруж­ность, и в этот же мно­го­уголь­ник впи­са­на еще одна окруж­ность. Пло­щадь коль­ца, огра­ни­чен­но­го этими окруж­но­стя­ми, равна 36 см². Най­ди­те длину сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD опи­сан около окруж­но­сти. Най­ди­те AB и BC, если угол ABC = 90°, угол ADC = 60°, AD = 16 см, CD = 30 см.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD опи­сан около окруж­но­сти. Най­ди­те AB и BC, если угол ABC = 90°, угол ADC = 60°, AD = 8 см, CD = 15 см.

Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка АВС лежат на окруж­но­сти, АВ : ВС = 2 : 3. Точка D делит дугу АС по­по­лам. От­ре­зок BD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке E. Через точку Е про­ве­де­на хорда КМ, при­чем КЕ = 4 см, МЕ = 6 см. Най­ди­те АС.

Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка АВС лежат на окруж­но­сти, АВ : ВС = 2 : 3. Точка D делит дугу АС по­по­лам. От­ре­зок BD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке E. Через точку Е про­ве­де­на хорда КМ, при­чем КЕ = 8 см, МЕ = 12 см. Най­ди­те АС.

Около окруж­но­сти ра­ди­у­са см опи­сан пра­виль­ный тре­уголь­ник. На его вы­со­те как на сто­ро­не по­стро­ен пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, в ко­то­рый впи­са­на дру­гая окруж­ность. Най­ди­те ее ра­ди­ус.

В окруж­ность ра­ди­у­са впи­сан квад­рат. На его диа­го­на­ли как на сто­ро­не по­стро­ен пра­виль­ный тре­уголь­ник, в ко­то­рый впи­са­на дру­гая окруж­ность. Най­ди­те ее ра­ди­ус.

Три окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых 6 см, 2 см и 4 см, ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те длину окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через цен­тры дан­ных окруж­но­стей.

Три окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых 12 см, 4 см и 8 см, ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те длину окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через цен­тры дан­ных окруж­но­стей.

Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее ос­но­ва­ния равны 5 см и 15 см.

Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее ос­но­ва­ния равны 7 см и 13 см.

Ско­рость по­ез­да уве­ли­чи­лась с 70 км/ч до 90 км/ч. На сколь­ко про­цен­тов умень­ши­лось время, за­тра­чи­ва­е­мое по­ез­дом на один и тот же путь?

Ско­рость ав­то­мо­би­ля умень­ши­лась с 80 км/ч до 60 км/ч. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось время, за­тра­чи­ва­е­мое ав­то­мо­би­лем на один и тот же путь?

Две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 7 см и 8 см, его пло­щадь равна см². Най­ди­те сумму квад­ра­тов зна­че­ний, ко­то­рые может при­ни­мать тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка.

Две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 6 см и 8 см, его пло­щадь равна см². Най­ди­те сумму квад­ра­тов зна­че­ний, ко­то­рые может при­ни­мать тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка.

До­ка­жи­те, что зна­че­ние вы­ра­же­ния 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺² крат­но 14 при

До­ка­жи­те, что зна­че­ние вы­ра­же­ния 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² крат­но 39 при

Боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно бо­ко­вой сто­ро­не, а диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии 3 : 13. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее вы­со­та равна 24 см.

Мень­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно бо­ко­вой сто­ро­не, а диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии 5 : 11. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее вы­со­та равна 20 см.

Через концы диа­мет­ра AB к окруж­но­сти про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные AM и BN. Тре­тья ка­са­тель­ная пе­ре­се­ка­ет пер­вые две в точ­ках C и D так, что Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если

Через концы диа­мет­ра AB к окруж­но­сти про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные AM и BN. Тре­тья ка­са­тель­ная пе­ре­се­ка­ет пер­вые две в точ­ках C и D так, что Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если

Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тра­пе­ции, лежит на одном из ос­но­ва­ний этой тра­пе­ции. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее бо­ко­вая сто­ро­на равна 4 см, а один из ее углов равен 120°.

Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тра­пе­ции, лежит на одном из ос­но­ва­ний этой тра­пе­ции. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 2 см, а один из углов тра­пе­ции  — 120°.

Пусть До­ка­жи­те, что зна­че­ние вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

Пусть До­ка­жи­те, что зна­че­ние вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

Срав­ни­те зна­че­ния вы­ра­же­ний и если а

Срав­ни­те зна­че­ния вы­ра­же­ний и если а

Функ­ция y=f(x) опре­де­ле­на на мно­же­стве дей­стви­тель­ных чисел R, яв­ля­ет­ся не­чет­ной и для за­да­ет­ся фор­му­лой f(x)  =  x² − 2x. Най­ди­те зна­че­ния вы­ра­же­ния

Функ­ция y=f(x) опре­де­ле­на на мно­же­стве дей­стви­тель­ных чисел R, яв­ля­ет­ся не­чет­ной и для за­да­ет­ся фор­му­лой f(x)  =  x² − 3x. Най­ди­те зна­че­ния вы­ра­же­ния

Пло­щадь впи­сан­но­го в пра­виль­ный мно­го­уголь­ник круга в 4 раза мень­ше пло­ща­ди круга, опи­сан­но­го около этого мно­го­уголь­ни­ка. Най­ди­те пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка, если его пло­щадь равна

Пло­щадь круга, опи­сан­но­го около пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, в 4 раза боль­ше пло­ща­ди круга, впи­сан­но­го в этот мно­го­уголь­ник. Най­ди­те пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка, если его пло­щадь равна

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB = 2 см и AC = 4 см. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны A, равна см. Най­ди­те угол A дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB = 6 см и AC = 10 см. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны A, равна см. Най­ди­те угол A дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на ме­ди­а­на BM, угол ABC  =  105°, Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка MBC, равен Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на ме­ди­а­на BM, угол ABC  =  105°, Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AMB, равен Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMC.

В тра­пе­ции ABCD AD и BC  — ос­но­ва­ния, O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB равна 12 см², BC : AD = 3 : 4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

В тра­пе­ции ABCD AD и BC  — ос­но­ва­ния, O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка COD равна 15 см², BC : AD = 3 : 5. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

В окруж­ность ра­ди­у­са см впи­сан квад­рат. Из одной вер­ши­ны этого квад­ра­та про­ве­де­ны две хорды, стя­ги­ва­ю­щие дуги по 120°. Най­ди­те длину от­рез­ка диа­го­на­ли квад­ра­та, за­клю­чен­но­го между этими хор­да­ми.

В окруж­ность ра­ди­у­са см впи­сан квад­рат. Из одной вер­ши­ны этого квад­ра­та про­ве­де­ны две хорды, стя­ги­ва­ю­щие дуги по 120°. Най­ди­те длину от­рез­ка диа­го­на­ли квад­ра­та, за­клю­чен­но­го между этими хор­да­ми.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции угол между диа­го­на­ля­ми равен 90°, сред­няя линия тра­пе­ции равна 6 см. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции угол между диа­го­на­ля­ми равен 90°, сред­няя линия тра­пе­ции равна 8 см. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Две сту­ден­че­ские бри­га­ды могут вы­пол­нить за­да­ние, ра­бо­тая вме­сте, за 6 ч. За сколь­ко часов может вы­пол­нить это за­да­ние каж­дая бри­га­да, ра­бо­тая са­мо­сто­я­тель­но, если одной из них для вы­пол­не­ния за­да­ния не­об­хо­ди­мо на 4 ч боль­ше, чем дру­гой для вы­пол­не­ния за­да­ния?

Две сту­ден­че­ские бри­га­ды могут вы­пол­нить за­да­ние, ра­бо­тая вме­сте, за 2 дня. За сколь­ко дней может вы­пол­нить это за­да­ние каж­дая бри­га­да, ра­бо­тая са­мо­сто­я­тель­но, если одной из них для вы­пол­не­ния за­да­ния не­об­хо­ди­мо на 3 дня мень­ше, чем дру­гой для вы­пол­не­ния за­да­ния?

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те урав­не­ние

Луч AM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в точке M, а про­дол­же­ние сто­ро­ны CD  — в точке N, при­чем BM = 2MC. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNC равна 20. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Луч AM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в точке M, а про­дол­же­ние сто­ро­ны CD  — в точке N, при­чем BM = 3MC. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNC равна 30. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из углов равен 60°, рас­сто­я­ние от цен­тра впи­сан­ной окруж­но­сти до вер­ши­ны пря­мо­го угла равно Най­ди­те боль­шую сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из углов равен 60°, рас­сто­я­ние от цен­тра впи­сан­ной окруж­но­сти до вер­ши­ны пря­мо­го угла равно Най­ди­те боль­шую сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен 34 см, пло­щадь равна 36 см², синус остро­го угла равен Най­ди­те боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма.

Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен 34 см, пло­щадь равна 48 см², синус остро­го угла равен Най­ди­те боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма.

В пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са 4. От­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции равно 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

В пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са 8. От­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции равно 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Вы­со­та и мень­шая диа­го­наль ромба от­но­сят­ся как 4 : 5, пе­ри­метр ромба равен 100 см. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Вы­со­та и боль­шая диа­го­наль ромба от­но­сят­ся как 3 : 5, пе­ри­метр ромба равен 200 см. Най­ди­те пло­щадь ромба.

В окруж­но­сти про­ве­де­ны две хорды AB и CD, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что ве­ли­чи­на угла DMB равна по­ло­ви­не суммы дуг AFC и BHD.

К окруж­но­сти из точки M про­ве­де­ны две се­ку­щие MA и MB, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют окруж­ность в точ­ках A и C, B и D, как ука­за­но на ри­сун­ке. До­ка­жи­те, что ве­ли­чи­на угла AMB равна по­ло­ви­не раз­но­сти дуг AFB и CHD.

Ре­ши­те со­во­куп­ность не­ра­венств

Ре­ши­те со­во­куп­ность не­ра­венств

Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции

Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та BH. Бис­сек­три­са угла A делит вы­со­ту BH в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от точки B. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если BC = 12.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та BH. Бис­сек­три­са угла С делит вы­со­ту BH в от­но­ше­нии 13 : 5, счи­тая от точки B. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AB = 48.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB = BC = 4, ме­ди­а­на AM = 3. Най­ди­те пло­щадь круга с диа­мет­ром AC.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB = BC = 6, ме­ди­а­на AM = 4. Най­ди­те пло­щадь круга с диа­мет­ром AC.

Три числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Если сред­нее из них уве­ли­чить в 2 раза, то они ста­нут по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Три числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Если сред­нее из них уве­ли­чить в 3 раза, то они ста­нут по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Най­ди­те пло­щадь рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, в ко­то­рую впи­са­на окруж­ность и точка ка­са­ния делит бо­ко­вую сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 4 см и 9 см.

Най­ди­те пло­щадь рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, в ко­то­рую впи­са­на окруж­ность и точка ка­са­ния делит бо­ко­вую сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 2 см и 8 см.

Длина сто­ро­ны ромба ABCD равна 6, угол A равен 60°. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точка E лежит на сто­ро­не BC, при­чем CE : BE = 1 : 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка COE.

Длина сто­ро­ны ромба ABCD равна 8, угол A равен 60°. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точка E лежит на сто­ро­не BC, при­чем CE : BE = 1 : 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка COE.

Раз­ло­жи­те на мно­жи­те­ли мно­го­член

Раз­ло­жи­те на мно­жи­те­ли мно­го­член

Пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция опи­са­на около окруж­но­сти. Точка ка­са­ния делит боль­шую бо­ко­вую сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 2 см и 8 см. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция опи­са­на около окруж­но­сти. Точка ка­са­ния делит боль­шую бо­ко­вую сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 4 см и 9 см. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.